Revisão: equações exponenciais

A utilização da potenciação na resolução de equações exponenciais

 

Fonte: https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial/ 

Extremamente útil para expressar tanto valores muito grandes, como as distâncias entre os astros, quanto muito pequenos, como as massas dos átomos, a potenciação é uma ferramenta da Matemática que nos possibilita solucionar problemas que envolvem expoentes. 

Em uma equação exponencial, a relação entre incógnitas e números é estabelecida por meio de potências. Estas, por sua vez, possuem propriedades altamente interessantes e muio utilizadas na resolução desse tipo de equação, como iremos ver a seguir. 

Equações Exponenciais 

São chamadas de equações exponenciais aquelas que têm incógnita em pelo menos um expoente. Por exemplo: 

1. a) 2x = 16 

2. b) 52x = 225 

3. c) 14x + 9 = (1/28)x + 2 

4. d) 2x + 3y = 1032 

Para resolvermos as equações exponenciais, precisamos sempre utilizar as propriedades da potenciação.

Caso 1: quando existe apenas um membro em cada lado da igualdade 

 

 Fonte: https://www.gestaoeducacional.com.br/equacao-exponencial/ 

Esse tipo é o mais simples, amad@s. Para resolvermos equações como essa, tudo o que precisamos fazer é reescrever os membros da igualdade usando potências de mesma base. Feito isso, só precisamos equacionar os expoentes. 

Exemplo 1: 

10x = 1.000 

O primeiro passo, como dito anteriormente, é deixar todos os termos em uma base comum, que seria 10. Assim, como 1.000 é igual a 103, substituímos na equação: 

OBS: a base tem que ser diferente de 1!!! 

10x = 103 

Feito isso, o que vem em seguida é comparar, ou equacionar, os expoentes. Com isso, temos: 

x = 3 

Portanto, S = {3}. 

Exemplo 2: 

(3/4)2x = (64/27) 

Temos que deixar todos os lados com a mesma base. Sabendo que 64 = 43 e 27 = 33, reescrevemos a equação acima: 

(3/4)2x = (43/33) 

Como ab/cb = (a/c)b , podemos perceber que: 

(3/4)2x = (4/3)3 

Agora percebemos que as bases estão invertidas. Para deixarmos iguais, temos que desinverter uma delas, ou seja, o que é denominador passará a ser numerador, e vice-versa. Ao fazer isso, o sinal do expoente da base que foi invertida será trocado: se for positivo, ficará negativo; se for negativo, ficará positivo. Resumindo: ab = (1/a)-b. Então: 

(3/4)2x = (3/4)-3 

Com bases iguais, agora é só compararmos os expoentes: 

2x = - 3 

x = - 3/2 

Portanto, S = {- 3/2}.

Caso 2: quando existe mais de um membro em um dos lados da igualdade

 

 Fonte: https://brainly.com.br/tarefa/22905539 

Calma, jovem, não se assuste! O procedimento também é bem simples. O que vamos analisar é o método da substituição, que consiste em substituir um valor elevado a uma incógnita por uma letra (diferente da que está no expoente, claro). 

Exemplo: 

3x + 8 · 3x = 81 

Primeiro, nós precisamos substituir uma potência por uma letra. Nesse exemplo, vamos substituir 3x por y. Depois de ter feito isso, ficamos com a seguinte equação: 

y + 8y = 81 

Depois, temos que descobrir o valor de y: 

y + 8y = 81 

9y = 81 

y = 81/9 

y = 9 

Se acalme, amad@, o cálculo não acaba por aqui! O que nós fizemos foi apenas descobrir o valor de y. O que nos interessa é saber o valor de x. Para isso, igualamos o valor de y que encontramos na equação a 3x, pois é o valor que o substitui: 

3x = 9 

3x = 32 

x = 2 

Agora que achamos o valor de x, S = {2}. 

OBS: em alguns casos, chegamos a uma equação de segundo grau. Assim, ao descobrir os dois valores de y, temos que ver qual deles é a solução da nossa equação. Exemplo: 

4x + 4 · 2x = 5 

(22)x + 4 · 2x = 5

Como (22)x é igual a (2x)2, temos:

(2x)2 + 4 · 2x = 5

Substituindo: y = 2x 

y2 + 4y = 5 
y2 + 4y - 5 = 0

Resolvendo a equação, chegamos nas seguintes raízes:

y1 = 1 

y2 = - 5 

Substituindo em y: 

2x’ = 1 

2x’ = 20 

x' = 0 

2x’’ = - 5 

Não existe x real que satisfaça essa equação, pois não é possível um número positivo ser elevado a um x real e o resultado disso ser um valor negativo.

Assim, S = {0}. 

Agora é sua vez!!! 

Exercícios 

Resolva as equações exponenciais a seguir: 

a) 2x = 64 

b) 102x = 10.000 

c) (0,5)x = 41 – 3x 

d) 3 · 32x - 4 · 3x = - 1 

e) 112x + 2 · 11x = 3 

Gabarito: 

a) S = {6} 

b) S = {2} 

c) S = {2/5} 

d) S = {-1;0} 

e) S = {0}