Como achar as raízes de uma função quadrática usando o vértice da parábola

Descobrindo as raízes de uma função quadrática usando o eixo de simetria

Fonte: http://teccienciapiloto.ufba.br/funcao-do-2o-grau/eixo-de-simetria

Qualquer gráfico de função quadrática possui um eixo de simetria. Esse eixo divide a parábola em dois intervalos - um crescente e um decrescente - e é o que nós chamamos de vértice da parábola. Assim como qualquer outro ponto no gráfico, o vértice possui suas coordenadas, que representamos por (Xv, Yv), onde:

Xv = x do vértice

Yv = y do vértice

Partindo desse princípio, podemos perceber que as raízes de qualquer função do segundo grau estão localizadas, em módulo, a uma mesma distância em relação ao vértice, como podemos ver na imagem abaixo:

Fonte: https://www.professorferretto.com.br/vertice-da-parabola-valor-maximo-ou-minimo-da-funcao-quadratica/

Como observamos, x' e x'' - raízes da função - estão a uma distância d em relação ao vértice.  Assim, podemos concluir que o Xv é, matematicamente, igual a média aritmética delas. Portanto:

Xv = (x' + x'')/2

Mas não para por aí. Se voltarmos ao gráfico acima, podemos ver que:

x' = Xv - d

x'' = Xv + d

Agora vamos usar um exemplo para ficar mais claro. Vamos determinas as raízes da função quadrática f(x) = x2 - 6x + 8. Como sabemos, a soma das raízes é igual a -b/a. Assim, temos:

x' + x'' = - (- 6)/1

x' + x'' = 6

Como já sabemos, o Xv é igual a média das raízes. Então:

Xv = 6/2

Xv = 3

Assim como visto anteriormente, o x' é igual ao Xv - d, e x'' é igual ao Xv + d.  Aplicando o que estudamos:

x' = 3 - d

x'' = 3 + d

O produto das raízes é igual a c/a. Substituindo na fórmula:

x' · x'' = c/a

x' ·  x'' = 8/1

x' · x'' = 8

Tudo o que precisamos fazer agora é substituir x' e x'' na fórmula acima pelos valores que encontramos anteriormente. Assim:

(3 - d) · (3 + d) = 8

9 - d2 = 8

- d2 = 8 - 9

- d2 = - 1

d2 = 1

d = 1

Agora que sabemos qual o valor de d, conseguimos facilmente encontrar o valor das raízes da função quadrática. Com isso, temos:

x' = 3 - d

x' = 3 - 1

x' = 2

x'' = 3 + d

x'' = 3 + 1

x'' = 4

Assim, as raízes da função f(x) = x2 - 6x + 8 são 2 e 4. 

Agora é sua vez!!!

Exercícios

Encontre as raízes das funções abaixo usando o vértice da parábola:

a) f(x) = x2 - 5x + 6

b) g(x) x2 + 8x - 9

c) h(x) = x2 - 4x + 2

d) i(x) = 2x2 - 36x + 160

Gabarito

a) S = {2, 3}

b) S = {- 9, 1}

c) S = { 2 - √2, 2 + √2}

d) S = {8, 10}